Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，a₇=13，数列{b_n}的前n项和为S_n，且有S_n=2b_n-1．
1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
2）若c_n=a_nb_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式能求出首项和公差，由此能求出a_n=2n-1（n∈N^*）；由S_n=2b_n-1
，能推导出{b_n}是首项为1公比为2的等比数列，由此求出bn=2n-1（n∈N^*）．
（2）由cn=anbn=(2n-1)•2n-1，利用错位相减法能求出{c_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差数列，且a₃=5，a₇=13，设公差为d．
∴

a1+2d=5 a1+6d=13

，解得

a1=1 d=2

∴a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）
在{b_n}中，∵S_n=2b_n-1
当n=1时，b₁=2b₁-1，∴b₁=1
当n≥2时，由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1，
得b_n=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1
∴{b_n}是首项为1公比为2的等比数列
∴bn=2n-1（n∈N^*）
（2）∵cn=anbn=(2n-1)•2n-1，
∴Tn=1+3•2+5•22+…+(2n-1)•2n-1①2Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n②
①-②得 -Tn=1+2•2+2•22+…+2•2n-1-(2n-1)•2n
=1+2•

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n
=1+4（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ=-3-（2n-3）•2ⁿ
∴Tn=(2n-3)•2n+3（n∈N^*）

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．