Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求点E到平面ACD的距离；
（III）求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如图所示，要证AO⊥平面BCD，只需证AO⊥BD，AO⊥CO即可，结合已知条件，根据勾股定理即可得到答案．
（II）以O为原点，以OB，OC，OA方向为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系，求出平面ACD的法向量的坐标，根据点E到平面ACD的距离h=

| EC • n |

| n |

，可求出点E到平面ACD的距离；
（III）结合（II）中结论，再由AO⊥平面BCD，即

AO

为平面BCD的一个法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-CD-B的余弦值．

解答：证明：（I）△ABD中，∵AB=AD=

2

，O是BD中点，BD=2
∴AO⊥BD且 AO=

AB2-BO2

=1
△BCD中，连接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且 CO=

BC2-BO2

=

3

△AOC中AO=1，CO=

3

，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD．（5分）
解：（II）如图建立空间直角坐标系，设平面ACD的法向量为

n

=（x，y，z）则

n • AD =0 n • AC =0

即

x+z=0 3 y-z=0

．（7分）

令y=1得

n

=（-

3

，1，

3

）是平面ACD的一个法向量．．（8分）
又

EC

=（-

1

2

，

3

2

，0）
∴点E到平面ACD的距离h=

| EC • n |

| n |

=

21

7

．（10分）
（III）∵AO⊥平面BCD
∴

AO

=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量；
∴cos＜

AO

，

n

＞=

AO • n

| AO |•| n |

=

21

7

则二面角A-CD-B的余弦值为

21

7

．（14分）

点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定，空间点到平面的距离，二面角的平面角，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，利用向量法解决空间距离和夹角问题．