Question

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数.设（i、j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数.

（Ⅰ）若＝2010，求i和j的值；
（Ⅱ）记N*)，试比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）i＝11,
（Ⅱ）当，2，3时,  当时，

（Ⅰ）因为数表中前i－1行共有个数，则第i行的第一个数是，所以                                 （2分）
因为，＝2010，则i－1＝10，即i＝11．             （4分）
令，则.           （5分）
（Ⅱ）因为，则N*).          （6分）
所以.
所以.      （7分）
检验知，当，2，3时，，即.      （8分）
猜想：当时，.               （9分）
证法一：当时,
. （12分）
综上分析，当时，；当时，.   （13分）
证法二：①当时，，所以成立. （10分）
②假设当时，不等式成立，即.
则.
因为，
所以，即当时，猜想也正确.
由①、②得当时, 成立.
综上分析，当时，；当时，.       （13分）