题目内容

（本题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

（1）椭圆的标准方程为；（2）直线过定点，定点坐标为

解析

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（本小题满分13分）如图所示，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴交于点M，且y1y2＝－1，

（Ⅰ）求证：点的坐标为；
（Ⅱ）求证：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△AOB面积的最小值。

（本小题14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。

（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由。

(14分)设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.

抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
①若，求直线的斜率；
②设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．

（I） 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点, 求证: 为定值;
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.

已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以
点 为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与A关于直线对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线的左支交于，两点，另一直线经过 及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围．

已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于，两点，交直线于点，已知，求的值.

已知椭圆上的任意一点到它两个焦点的距离之和为，且它的焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆交于不同两点，且线段的中点不在圆内，求实数的取值范围.

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