Question

已知函数f（x）=

ex-1(x＞0) 1-| 1 2 x+1|(x≤0)

，若f（x）≥ax恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（∞，

  1

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：先把函数化为分段函数，画出函数的图象，令y=f（x）、y=ax，f（x）≥ax恒成立等价于函数y=f（x）的图象位于函数y=ax的上方．

解答： 解：当-2≤x≤0时，f（x）=1-（

1

2

x+1）=-

1

2

x；当x＜-2时，f（x）=1+（

1

2

x+1）=

1

2

x+2；
函数化为f（x）=

1 2 x+2，x＜-2 - 1 2 x，-2≤x≤0 ex-1，x＞0

，
其图象如下：

其中，直线n₁与直线AB平行，故斜率为kn1=kAB=

1-0

-2+4

=

1

2

，
直线n₂是直线y=ax与曲线y=e^x-1相切于原点的直线，故斜率kn2=y′|x=0=ex|x=0=e0=1，
要使f（x）≥ax恒成立，只有使直线y=ax在图中阴影区域，也即位于直线n₁与n₂ 之间，
∴直线y=ax的斜率a应满足：kn1≤a≤kn2，
∴

1

2

≤a≤1
故选：C．

点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，以及不等式恒成立的思想，属于中档题．