Question

已知函数
(I)若直线l₁交函数f(x)的图象于P,Q两点，与l₁平行的直线与函数的图象切于点R,求证 P,R,Q三点的横坐标成等差数列;
(II)若不等式恒成立,求实数a的取值范围；
(III)求证:〔其中, e为自然对数的底数）

Answer 1

（Ⅰ），设切点R(x₀，y₀)
则．
令l₂：y=(-4x₀+4)x+b．
联立 消去y得 2x²-4x₀x+b=0．
令P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁+x₂=2x₀，
即R、R、Q三点的横坐标成等差数列． ……………………………………4分
（Ⅱ）由已知有f (x)+g(x)-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，
令F(x)=2x²-alnx(x>0)，
则.
由，得.
当0<x<时，F(x)在区间(0，)上递减；
当时，，F(x)在区间(，+∞)上递增．
∴ ≥0，得0<a≤4e．……………………………9分
（Ⅲ）由（2）知当a=2e时有2x²-2elnx≥0，得≤
∴
≤
<
=
<．

略