Question

11．已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性与单调性；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，求a的值；
（3）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（4）若f^-1（1）=$\frac{1}{3}$，解关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）．

Answer 1

分析 （1）由对数概念可得定义域；再由奇偶性定义可得奇函数；讨论a＞1，0＜a＜1可得单调性；
（2）由题意可得x=±$\frac{1}{2}$是方程log_a$\frac{1+x}{1-x}$=±2的解，解方程可得a；
（3）由y=f（x）解出x，将x换为y，y换为x，即可得到；
（4）化简可得$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＞1-m，讨论当m≥1时，当m＜1时，即可得到所求解集．

解答 解：（1）函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）的定义域为（-1，1），
由f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-f（x），则f（x）为奇函数；
由f（x）═log_a（1+x）-log_a（1-x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=log_a（$\frac{2}{1-x}$-1），
当a＞1时，0＜x＜1，$\frac{2}{1-x}$-1递增，函数f（x）递增；
由奇函数性质，可得f（x）在a＞1，（-1，1）单调递增；
当0＜a＜1时，0＜x＜1，$\frac{2}{1-x}$-1递增，函数f（x）递减；
由奇函数性质，可得f（x）在a＞1，（-1，1）单调递减；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
则-2＜log_a$\frac{1+x}{1-x}$＜2的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
即有x=±$\frac{1}{2}$是方程log_a$\frac{1+x}{1-x}$=±2的解，
可得log_a$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$═±2，解得a=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）由y=log_a$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1），
可得x=$\frac{{a}^{y}-1}{{a}^{y}+1}$，
将x换为y，y换为x，可得y=f^-1（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$；
（4）若f^-1（1）=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{3}$，可得a=2，
不等式f^-1（x）＜m，即为$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＜m，
即$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＞1-m，
当m≥1时，x∈R；
当m＜1时，
即为2^x＜$\frac{1+m}{1-m}$，
解得x＜log₂$\frac{1+m}{1-m}$，
综上可得，当m≥1时，解集为R；
当m＜1时，解集为{x|x＜log₂$\frac{1+m}{1-m}$}．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查不等式的解法，以及反函数求法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．