Question

【题目】已知函数，（，是自然对数的底数）．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）首先令，代入，求得的一个取值范围.构造函数，利用的导函数研究的最小值，由此求得的取值范围.

（1），

当时，，函数在上递减；

当时，由，解得，故函数在上单调递减，

由，解得，故函数在上单调递增．

综上所述，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增.

（2）当时，，

即，故，

令

，

则，

若，则当时，，

函数在上单调递增，

当时，

，

当时，单调递增，

则，符合题意；

若，则，

，

由得，

故，

存在，使得，

且当时，，

在上单调递减，

当时，，不合题意，

综上，实数的取值范围为．