Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，且2S_n=a_n²+a_n．
（1）求a₁；
（2）数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

1

an•an+1

，记数列{b_n}的前n项和T_n，若对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2S₁=a₁²+a₁，a_n＞0，由此能求出a₁．
（2）由已知得a_n=S_n-S_n-1=an2+an -（an-12+an-1），从而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，进而{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，得T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，从而

n

n+1

≤k(n+4)，由此利用基本不等式能求出实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n，∴2S₁=a₁²+a₁，
又a_n＞0，解得a₁=1．…（2分）
（2）∵2S_n=a_n²+a_n，∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，…（3分）
∴a_n=S_n-S_n-1=an2+an -（an-12+an-1），…（4分）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，…（5分）
又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，…（6分）
∴{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，…（7分）
故a_n=a₁+（n-1）d=n．…（8分）
（3）∵bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∵对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，
∴

n

n+1

≤k(n+4)，
∴k≥

n

(n+1)(n+4)

=

n

n2+5n+4

=

1

n+ 4 n +5

，
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，当且仅当n=2时，等号成立，
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

，∴k≥

1

9

，
∴实数k的取值范围是[

1

9

，+∞）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意裂项求和法和基本不等式的合理运用，是中档题．