Question

6．若（$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中前三项的二项式系数之和等于22，
（1）求该展开式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$项的系数
（2）求展开式中系数绝对值最大的项的系数．

Answer 1

分析 （1）该展开式中前三项的二项式系数之和等于22可得$C_n^0+C_n^1+C_n^2=22$，化为$1+n+\frac{n（n-1）}{2}=22$，解出再利用通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：T_r+1=（-1）^r•2^2r-6•${∁}_{6}^{r}$•x^6-2r．设该展开式中的系数绝对值最大的项为第r+1项，系数绝对值记为a_r得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{r}≥{a}_{r+1}}\\{{a}_{r}≥{a}_{r-1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{6}^{r}•{2}^{2r-6}≥{∁}_{6}^{r+1}•{2}^{2r-4}}\\{{∁}_{6}^{r}•{2}^{2r-6}≥{∁}_{6}^{r-1}•{2}^{2r-8}}\end{array}\right.$，解出进而得出．

解答 解：（1）∵该展开式中前三项的二项式系数之和等于22
∴$C_n^0+C_n^1+C_n^2=22$，
∴$1+n+\frac{n（n-1）}{2}=22$，
∴n²+n-42=0解得n=-7（舍去）或n=6．
∴n=6，
T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\frac{x}{2}）^{6-r}$$（-\frac{2}{x}）^{r}$=（-1）^r•2^2r-6•${∁}_{6}^{r}$•x^6-2r．
令6-2r=-2，解得r=4．
∴该展开式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$项的系数为$（-1）^{4}•{2}^{2}{∁}_{6}^{4}$=60．
（2）由（1）可得：T_r+1=（-1）^r•2^2r-6•${∁}_{6}^{r}$•x^6-2r．
设该展开式中的系数绝对值最大的项为第r+1项，系数绝对值记为a_r得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{r}≥{a}_{r+1}}\\{{a}_{r}≥{a}_{r-1}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{6}^{r}•{2}^{2r-6}≥{∁}_{6}^{r+1}•{2}^{2r-4}}\\{{∁}_{6}^{r}•{2}^{2r-6}≥{∁}_{6}^{r-1}•{2}^{2r-8}}\end{array}\right.$，解得$\frac{23}{5}≤$r≤$\frac{28}{5}$，
又∵0≤r≤6，r∈N^*，解得r=5．
∴展开式中系数绝对值最大的项的系数为$（-1）^{5}×{2}^{4}{∁}_{6}^{5}$=-96．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式的应用、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．