Question

17．己知函数f（x）=x²-2x-8
（1）求不等式f（x）＜0的解集：；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）进行配方运算，由此得到小于0的解集．
（2）将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式，得到m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x-8，
=（x-1）²-9，
∴不等式f（x）＜0，解得：-2＜x＜4，
∴解集为{x|-2＜x＜4}，
（2）∵f（x）≥（m+2）x-m-15可以转化为x²-4x+7≥m（x-1），
∵x＞2，
∴m≤x-1+$\frac{4}{x-1}$-2，
由基本不等式得：m≤2，
当且仅当x=3时，取等号．

点评 本题考查二次函数配方运算，将不等式转化为恒成立问题，分离参数，以及基本不等式．