Question

7．设a，b，c＞0，若abc=a+b+c，且$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=2，则abc的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 6
• C． 8
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 a，b，c＞0，abc=a+b+c，可得a=$\frac{b+c}{bc-1}$＞0，bc＞1．由$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=2，可得b+c=2bc．于是abc=$\frac{bc（b+c）}{bc-1}$=$\frac{2{b}^{2}{c}^{2}}{bc-1}$，令bc=t＞1，f（t）=$\frac{2{t}^{2}}{t-1}$，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵a，b，c＞0，abc=a+b+c，
∴a=$\frac{b+c}{bc-1}$＞0，解得bc＞1．
∵$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=2，∴b+c=2bc．
则abc=$\frac{bc（b+c）}{bc-1}$=$\frac{2{b}^{2}{c}^{2}}{bc-1}$，
令bc=t＞1，则f（t）=$\frac{2{t}^{2}}{t-1}$，f′（t）=$\frac{2t（t-2）}{（t-1）^{2}}$，
可得：t=2时，f（t）取得最小值8．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．