Question

已知首项为的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

（I）a_n=a₁=()ⁿ；（Ⅱ）.

试题分析：（I）{a_n}是一等比数列，且a₁=.设等比数列{a_n}的公比为q，由S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列，可得一个含公比q的方程，解这个方程便得公比q，从而得数列{a_n}通项公式. （Ⅱ）由题设及（I）可得：b_n=a_nlog₂a_n=-n?()ⁿ，由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.
试题解析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由题知  a₁=，
又∵ S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列，
∴ 2(S₂+a₂)=S₁+a₁+S₃+a₃，
变形得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，即得3a₂=a₁+2a₃，
∴ q=+q²，解得q=1或q=，                   4分
又由{a_n}为递减数列，于是q=，
∴a_n=a₁=()ⁿ．                            6分
（Ⅱ）由于b_n=a_nlog₂a_n=-n?()ⁿ，
∴，
于是，
两式相减得：
∴ ．                      12分