Question

已知数列满足，，，是数列的前项和．
(1)若数列为等差数列．
（ⅰ）求数列的通项；
（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析；（2）．

试题分析：（1）（ⅰ）由可得，在递推关系式中，由可求，进而求出，于是可利用是等差数列求出的值，最后可求出的通项公式，（ⅱ）易知，所以要比较和的大小，只需确定的符号和和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式通过变形得出，于是可以看出任意，恒成立，须且只需，从而可以求出的取值范围．
试题解析：(1)（ⅰ）因为，所以，
即，又，所以，           2分
又因为数列成等差数列，所以，即，解得，
所以；             4分
（ⅱ）因为，所以，其前项和，
又因为，              5分
所以其前项和，所以，   7分
当或时，；当或时，；
当时，．                      9分
（2）由知，
两式作差，得，              10分
所以,
再作差得，                  11分
所以，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；  14分
因为对任意，恒成立，所以且，
所以，解得，，
故实数的取值范围为．                   16分