Question

设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求；
（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.
①当取最小值时，求的通项公式；
②若关于的不等式有解，试求的值.

Answer 1

（1），（2）①，②

试题分析：
（1）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n项和公式求出公差d即可，（2）①利用等比数列每一项都为等差数列中项这一限制条件，对公比逐步进行验证、取舍，直到满足.因为研究的是取最小值时的通项公式，因此可从第二项开始进行验证，首先满足的就是所求的公比，②由①易得与的函数关系，并由为正整数初步限制取值范围，当且时适合题意，当且时，不合题意.再由不等式有解，归纳猜想并证明取值范围为本题难点是如何说明当时不等式即无解，可借助研究数列单调性的方法进行说明.
试题解析：
（1）设等差数列的公差为，则，解得，  2分
所以.              4分
（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，
若，则由，得，此时，由，
解得，所以，同理；          6分
若，则由，得，此时，
另一方面，，所以，即，    8分
所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比．
所以．                    10分
（3）因为，得，而，
所以当且时，所有的均为正整数，适合题意；
当且时，不全是正整数，不合题意.
而有解，所以有解，经检验，当，，时，都是的解，适合题意；          12分
下证当时，无解, 设，
则，
因为，所以在上递减，
又因为，所以恒成立，所以，所以恒成立，
又因为当时，，所以当时，无解.       15分
综上所述，的取值为                  16分