Question

10．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}-3{a^2}$x+1（a＞0）
（1）求f′（x）的表达式
（2）求f（x）的单调区间、极大值和极小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数即可；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a），
（2）∵a＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞3a或x＜-a，
令f′（x）＜0，解得：-a＜x＜3a，
∴f（x）在（-∞，-a）递增，在（-a，3a）递减，在（3a，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（-a）=$\frac{5}{3}$a³+1，f（x）_极小值=f（3a）=-9a³+1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．