Question

15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$asinC-ccosA．
（1）求A；
（2）若a=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）由已知结合正弦定理可得sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC-sinCcosA，又sinC≠0，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，即可得解A的值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=1，利用余弦定理可求得b+c=2，联立方程即可得解b，c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知结合正弦定理可得sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC-sinCcosA，…（2分）
∵sinC≠0，
∴1=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2sin（A-$\frac{π}{6}$），即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…（4分）
又∵A∈（0，π），
∴A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，…（6分）
（2）S=$\frac{1}{2}$bcsinA，即$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$bc•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=1，①…（7分）
又∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，
即1=（b+c）²-3，且b，c为正数，
∴b+c=2，②…（10分）
由①②两式解得b=c=1．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．