Question

设函数,已知和为的极值点.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)设,比较与的大小.

Answer 1

（1）,.
（2）在和上是单调递增的;在和上是单调递减的.
（3）(1)且时
(2) 或时,

(Ⅰ)因为,
又和为的极值点,所以,
因此解该方程组得,.
（Ⅱ）因为,,所以,
令,解得,,．
因为当时,;
当时,．
所以在和上是单调递增的;在和上是单调递减的.
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,
故,令，则.
令,得,因为时,,
所以在上单调递减.故时，;
因为时,,所以在上单调递增.
故时,.
所以对任意,恒有,又时,,
因此且时,
或时,
所以,   (1)且时
(2) 或时,
【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命题人给的原解)这种解法不太严谨,但也被大部分人所接受
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,
故,令,则.
令,得,因为时,,
所以在上单调递减.故时,;
因为时,,所以在上单调递增.
故时,.
所以对任意,恒有,又,因此,
故对任意,恒有