Question

已知圆C过点P（1，1），且与圆M：(x+2)²+(x+2)²=r²(r>0)²关于直线x+y+2=0对称．
⑴求圆C的方程；
⑵设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
⑶过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）-4；（3）OP∥AB；理由祥见解析．

试题分析：（1）由于两圆关于某直线对称，则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等；所以可先由圆C与圆M：(x+2)²+(x+2)²=r²(r>0)²关于直线x+y+2=0对称，求出圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标（x₀,y₀），进而写出圆C的方程，再由圆C过点P（1，1）就可求出半径r的值，从而得圆Ｃ的方程；其中求圆心Ｃ的坐标（x₀,y₀）这样进行：因为圆M的圆心M(-2,-2),所以有MC的中点在直线x+y+2=0上，且MC与直线x+y+2=0垂直，可列出关于x₀,y₀的方程组，解此方程组就可求得x₀,y₀的值；（2）设出点Q的坐标,则可用点Q的坐标表示出来,再由点Q在圆C上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;（3）由于直线PA和直线PB的倾斜角互补且PA与PB是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为90⁰,从而两直线的斜率都存在,若设PA的斜率为k，则PB的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程，与圆C的方程结合起来就可用k的式子表示出A，B两点的从标，从而就可求出直线AB的斜率，又OP的斜率可求，从而就可判断直线OP和AB是否平行了．
试题解析：（1）设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为(x₀,y₀）,由于圆M的圆心M(-2,-2),则有:,所以圆C的方程为:,又因为圆C过点P（1，1）,所以有,故知:⊙C的方程为：
（2）设Q（x、y），则，从而可设
则
所以的最小值为-4.
（3）设PA的方程为：，则PB的方程为：
由得，同理可得：

OP∥AB．