Question

7．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B、C两点，PA=3，PB=1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（I）求证PA•DC=PC•DB；
（Ⅱ）求 AD•AE的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，AD是∠BAC的角平分线，由此能够证明PA•DC=PC•DB．
（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值

解答 证明：（Ⅰ）∵AP为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，
又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AP}{PC}$，
∵AD是∠BAC的角平分线，∴$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$．
∴$\frac{DB}{DC}=\frac{AP}{PC}$，∴PA•DC=PC•DB． …（5分）
（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=9，BC=8，
又∵∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=64，
又由（Ⅰ）知$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴$AC=\frac{{12\sqrt{10}}}{5}，AB=\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$，
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD•AE=AB•AC=$\frac{4\sqrt{10}}{5}•\frac{12\sqrt{10}}{5}$=$\frac{96}{5}$．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．