Question

【题目】已知圆：关于直线：对称的圆为．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线与圆交于，两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形（和为对角线）中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）存在直线和.

【解析】

试题

本题考查圆方程的求法和直线与圆的位置关系。（Ⅰ）根据对称公式求得圆的圆心即可得到结果。（Ⅱ）由得平行四边形为矩形，故．然后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系利用代数方法根据判断直线是否存在即可。

试题解析：

（Ⅰ）圆化为标准方程为，

设圆心关于直线：的对称点为，

由，解得：，

所以圆的圆心坐标为，半径为3.

故圆的方程为．

（Ⅱ）由，得平行四边形为矩形，

所以．

要使，必须满足．

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

由解得或

直线与圆的两交点为，．

因为，

所以，

即直线：满足条件．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由消去y整理得

．

由于点在圆内部，所以恒成立，

设，

则，，

所以

，

整理得：

解得，

所以直线的方程为

综上可得，存在直线和，使得在平行四边形（和为对角线）中．