Question

【题目】已知数列满足，且，

（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）记，求；

（3）是否存在实数k，使得对任意都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）存在且．

【解析】

（1）用等差数列的定义证明是等差数列，由可得；

（2）用裂项相消法求；

（3）假设存在实数k，使得对任意都成立，不等式变形为，只要求得的最小值即可，可先证是递增的，然后可得最小值．

（1）因为，所以，即，所以，所以是等差数列，公差为2， ，

，所以．

（2）由（1），

所以．

（3）假设存在实数k，使得对任意都成立，

因为，

所以，

不等式化为，

，

设，

设，则，，

，所以，所以是递增数列，

，

所以．

所以存在实数k，使得对任意都成立，且．