Question

【题目】已知抛物线：，不过坐标原点的直线交于，两点.

（Ⅰ）若，证明：直线过定点；

（Ⅱ）设过且与相切的直线为，过且与相切的直线为.当与交于点时，求的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题设，.

（Ⅰ）设直线的方程为，联立方程组，得到则，再由，

所以，代入求得，即可判定直线过定点.

（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，联立方程组，利用，求得，

得到韦达定理，在利用斜率公式，求得直线的斜率，进而得到直线的方程；

解法二：由，则过且与相切的直线的斜率为，的斜率为，转化为方程的两个实根，求得的值，进而求解直线的方程；

解法三：由，则过且与相切的直线的斜率为，同理，的斜率为.

得到切线，的方程，代入点，得，，即可得到直线的方程.

试题解析：

设，.

（Ⅰ）解：显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为.由题意，.

由，得.

由题意，该方程的判别式，即.

则，.

因为，所以，所以，

即，即 .

所以.

所以.解得（舍去），或.

当时，，满足式.

所以直线的方程为.直线过定点.

（Ⅱ）解法一：过点且与：相切的直线的斜率必存在，设其斜率为，则其方程为，即.

由消去并整理得.

由判别式，解得.

不妨设的斜率，则的斜率.

由韦达定理，得，即.

.所以.

同理可得.

直线的方程为 ，

即直线的方程为.

解法二：，所以过且与相切的直线的斜率为.

同理，的斜率为.

：，即：.同理：.

因为与的交点的坐标为方程组的解，

所以，且.

所以方程，即的两个实根是，.

由，解得，.

又点，在：上，可得，.

直线的方程为 ，

即直线的方程为.

解法三：，所以过且与相切的直线的斜率为.同理，的斜率为.

所以，切线：，即.

又是抛物线上的点，所以，即.

故切线的方程为.同理切线的方程为.

又切线与切线均过点，故，.

所以切点、的坐标适合方程.所以的方程为.