Question

【题目】圆周上有个白点,先将其中一个染为黑色(称为第一次染色),对任何正整数,第次染色后按逆时针方向间隔个点将下个点染成与原来颜色相反的颜色(称为第次染色).

(1)对给定正整数,是否存在正整数,使次染色后个点均为白色？

(2)对给定正整数,是否存在正整数,使次染色后个点均为黑色？

Answer 1

【答案】(1)存在(2) 不存在

【解析】

设个点按逆时针方向编号为1,2,…,.对固定的,记第次染色的点的编号为,称为染色数列.

不妨设.则

注意到,染色数列是二阶等差数列,即,其中编号在模意义下.

(1)显然,第次染色后个点均为白色,等价于染色数列的前项中每个数出现的次数均为偶数.分别考虑的情形,各染色数列如下表:

n											最小次数
2	1										2
3	1	3									4
4	1	3									6
5	1	3									8
6	1	3									10

由此猜想, 个点时,经过次染色,全变成白色.

下面通过配对的方法证明：在前次染色中,第次与第次染同一个点,从而,每个点均被染偶数次(包括0次),均变为白色.

事实上,

(2)对任何正整数,均不存在正整数,使次染色后全部变黑.

首先, ,即染色数列(关于模)是以为周期的周期数列,且 (即第次与第次染色的是同个点).

事实上,.

考虑前次染色中染色的总次数,发现至少有一个点未染色.

由(1),知第次与第次染色的是同一个点,于是,在前次染色中,被染过色的点均至少染过两次颜色从而,至多有个点被染过颜色,即至少有个点从未被染过色,故前次染色中不可能出现全黑的情形.

而第次染色后全白,故,第次染色后只有一个黑子.又,第次染色后全白,于是,前次染色中不可能出现全黑的情形.

由周期性,任何时候均不可能出现全黑的情形.