题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，且
.
（1）过
作截面与线段
交于点H，使得
平面
，试确定点H的位置，并给出证明；
（2）在（1）的条件下，若二面角
的大小为
，试求直线
与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）H为线段
上靠近点P的五等分点，即
，证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接
交
于点
．证明
，即可证明
平面
．
（2）以
，
为x，y轴的正方向，过点D作平面
的垂线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可．
（1）如图，连接交于点E，
由
，易知
相似于
.
∴
，
又平面，平面
平面
，
∴，
∴
，即H为线段上靠近点P的五等分点，即.
（2）由
，
相似于
，可得
，
∵平面
平面，且平面
平面
，∴
平面
，
∴
为二面角
的平面角，∵
，∴
，
又
，∴
，
，
又易知
，∴
平面，即
是平面的法向量，
如图，以，为x，y轴的正方向，过点D作平面的垂线为z轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，∴
，
，
∴
，直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2014-2018年的相关数据如下表所示：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年生产台数 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
该产品的年利润 | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
年返修台数（台） | 19 | 58 | 45 | 71 | 70 |
注：
（1）从该公司2014-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，求这3年中至少有2年生产部门考核优秀的概率.
（2）利用上表中五年的数据求出年利润
（百万元）关于年生产台数
（万台）的回归直线方程是
①.现该公司计划从2019年开始转型，并决定2019年只生产该产品1万台，且预计2019年可获利32（百万元）；但生产部门发现，若用预计的2019年的数据与2014-2018年中考核优秀年份的数据重新建立回归方程，只有当重新估算的
，
的值（精确到0.01），相对于①中
，
的值的误差的绝对值都不超过
时，2019年该产品返修率才可低于千分之一.若生产部门希望2019年考核优秀，能否同意2019年只生产该产品1万台？请说明理由.
（参考公式：
，
，
，
相对
的误差为
.）
【题目】2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：
蔬菜量X | [40，80） | [80，120） | [120，160） | [160，200） |
天数 | 25 | 50 | 100 | 25 |
若将频率视为概率，试解答如下问题：
（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；
（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？
