Question

【题目】已知函数，，给出如下四个命题：

①的单调递增区间为；

②时，的极小值点为；

③时，在上存在唯一零点；

④若在（为自然对数的底数）上的最小值为3，则．

其中的真命题有______．（填上你认为所有正确的结论序号

Answer 1

【答案】②④

【解析】

求出函数的定义域以及导函数，根据的取值范围以及函数的单调性与导数的关系可判断①；根据极小值点的定义可判断②；根据零点存在性定理可判断③；根据函数的单调性可判断④.

函数的定义域为，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，解得，函数的单调递增区间为，故①错误；

当时，，令，解得，即函数在上单调递增，

令，解得，函数在单调递减，

所以的极小值点为，故②正确；

当时，由，

当时，函数有唯一一个零点；

当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为，，

当时，即时，函数有两个零点；

时，仅有一个零点；，函数无零点，故③错误；

当时，函数在上单调递增，则，

解得，显然不成立；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，即，，解得，成立；

当，即，，解得，显然不成立，

故④正确；

故答案为：②④