Question

【题目】已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.

(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；

(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：(1) 可将问题转化为时， 恒成立问题。令，先求导，导数大于0得原函数的增区间，导数小于0得原函数的减区间，根据单调性可求最小值。只需即可。(2)可将问题转化为方程,在上恰有两个相异实根，令。同(1)一样用导数求函数的单调性然后再求其极值和端点处函数值。比较极值和端点处函数值得大小，画函数草图由数形结合分析可知直线应与函数的图像有2个交点。从而可列出关于的方程。

试题解析：

解：(1)由， 可得1分

，即，记，

则在上恒成立等价于. 3分

求得

当时, ;

当时, .

故在处取得极小值，也是最小值，即，故.

所以，实数的取值范围为5分

(2)函数在上恰有两个不同的零点

等价于方程,在上恰有两个相异实根． 6分

令，则.

当时， ；

当时， ，

∴在上是单调递减函数，在上是单调递增 8分

函数．故，

又， ，

∵，∴只需，

故a的取值范围是． 10分