Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos2x（x∈R），则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}}$]（k∈Z）
• B． [kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}}$]（k∈Z）
• C． [kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}}$]（k∈Z）
• D． [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的增区间求出f（x）的单调递增区间．

解答 解：由题意得，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=$sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]（k∈Z）$，
故选A．

点评 本题考查二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式的应用，以及正弦函数的单调性，属于中档题．