Question

7．如图，AB是⊙O的直径，AD，DE是⊙O的切线．AD，BE的延长线交于点C．
（1）求证：A、O、E、D四点共圆；
（2）若OA=$\sqrt{3}$CE，∠B=30°，求CD长．

Answer 1

分析 （1）连接EO，证明对角互补，可得A、O、E、D四点共圆；
（2）若OA=$\sqrt{3}$CE，∠B=30°，求出AC，AD，即可求CD长．

解答 （1）证明：连接EO   （1分）
∵AD，DE是⊙O的切线
∴∠DAO=∠DEO=90°，（2分）
∴∠DAO+∠DEO=180°，∠ADE+∠AOE=180°    （4分）
∴A、O、E、D四点共线．（5分）
（2）解：连接AE，
∵CE=1，∴AO=$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$    （6分）
∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°        
Rt△ABE中，∠B=30°，故AE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，BE=3    （7分）
△ADE中，∠DAE=∠DEA=∠B=30°，
∴∠ADE=120°     （8分）
∴AD=$\frac{\frac{1}{2}AE}{cos30°}$=1    （9分）
又由切割线定理得AC²=CE•CB=1×4=4，∴AC=2
故CD=AC-AD=1．（10分）

点评 本题考查四点共圆的证明，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．