Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1上有一点P（1，

3

2

），点M，N是椭圆C上的两个动点，当直线PM的斜率与直线PN的斜率互为相反数时，直线MN的斜率为

 

．

Answer 1

考点：直线的斜率

专题：计算题,综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AM方程代入椭圆方程，利用点A（1，

3

2

）在椭圆上，可求M的坐标，利用直线AN的斜率与AM的斜率互为相反数，可求N的坐标，从而可得直线MN的斜率，问题得解．

解答： 解：设直线AM方程：得y=k（x-1）+

3

2

，
代入椭圆方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）2-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
因为点A（1，

3

2

）在椭圆上，
所以x₁=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y₁=kx₁+

3

2

-k．
又直线AN的斜率与AM的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得x₂=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y₂=-kx₂+

3

2

+k．
所以直线MN的斜率k_MN=

y2-y1

x2-x1

=

1

2

．
即直线MN的斜率为定值，其值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，确定点的坐标，属于中档题．