Question

如图半圆O的直径为2，A点在直径的延长线上，且OA=2，B点为半圆周上的任意一点，以AB为边作一个等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OABC的面积最大？并求出此时的四边形面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：设四边形OABC的面积为S，∠AOB=θ，表示出三角形AOB与三角形ABC面积，相加即为四边形OABC面积，利用正弦函数的值域确定出面积的最大值，以及此时∠AOB的度数．

解答： 解：设四边形OABC的面积为S，∠AOB=θ，
∵OA=OB=2，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB•sinθ=sinθ，
∵△ABC为等边三角形，
∴S_△ABC=

1

2

AB²sinθ，
在△AOB中，由余弦定理得：AB²=OB²+OA²-2OB•OA•cosθ=5-4cosθ，
∴S_△ABC=

3

4

（5-4cosθ），
则S=S_△AOB+S_△ABC=sinθ+

3

4

（5-4cosθ）=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

，
当θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

时，S有最大值为2+

5 3

4

，
则当∠AOB=

5π

6

时，四边形面积最大，最大面积为2+

5 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理是解本题的关键．