题目内容

5.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,△SAD是正三角形,P,Q分别是棱SC,AB的中点,且平面SAD⊥平面ABCD.
(1)求证:PQ∥平面SAD;
(2)求证:SQ⊥AC.

分析 (1)取SD中点F,连结AF,PF.证明PQ∥AF.利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD.
(2)连结BD,证明SE⊥AD.推出SE⊥平面ABCD,得到SE⊥AC.证明EQ⊥AC,然后证明AC⊥平面SEQ,即可证明结论.

解答 证明:(1)取SD中点F,连结AF,PF.
∵P,F分别是棱SC,SD的中点,∴FP∥CD,且$FP=\frac{1}{2}CD$,
∵在正方形ABCD中,Q是AB的中点,
∴AQ∥CD,且$AQ=\frac{1}{2}CD$,即FP∥AQ且FP=AQ,
∴AQPF为平行四边形,则PQ∥AF,
∵PQ?平面SAD,AF?平面SAD,∴PQ∥平面SAD.…(6分)
(2)连结BD,∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
取AD中点E,连SE,EQ,
∵Q为AB中点,∴EQ∥BD,∴AC⊥EQ.
∵SA=SD,∴SE⊥AD,
∵平面SAD⊥平面ABCD,且交线为AD,∴SE⊥平面ABCD,
又AC?平面ABCD,∴AC⊥SE,
∵SE∩EQ=E,SE,EQ?平面SEQ,∴AC⊥平面SEQ,
∵SQ?平面SEQ,∴SQ⊥AC.…(12分)

点评 本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用,棱锥的体积的求法,考查计算能力,属于中档题.

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