Question

已知函数（）.
(1)若函数在处取得极大值,求的值;
(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;
(3)证明:，.

Answer 1

(1) ；(2) .
(3)数学归纳法可知，，。

试题分析：(1)，由 经检验符合题意 （3分）
(2)依题意知，不等式在恒成立.令,
当k≤0时,取x＝1,有，故k≤0不合．（4分）
当k＞0时， g′(x)＝－2kx＝.
令g′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝＞－1.         （5分）
①当k≥时，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合题意，6分②当0＜k＜时，＞0, 对于x∈，g′(x)＞0，
故g(x)在内单调递增，因此当取x₀∈时，g(x₀)＞g(0)＝0，不合．
综上，. （8分）
(3)证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．（9分）
当n≥2时，在(2)中取k＝，得 （10分）
取代入上式得:  （12分）
≤2－ln3＋
－ln(2n＋1)≤2－ln3＋1－＜2.
综上，，        （14分）
点评：难题，本题属于导数应用中的常见问题，（2）是恒成立问题，注意通过构造函数，研究函数的最值达到解题目的。（3）利用数学归纳法。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。