Question

2．已知x=1是函数f（x）=ax³-bx-lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b-1的大小关系是（　　）

• A． lna＞b-1
• B． lna＜b-1
• C． lna=b-1
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 求出f（x）的导数得到b=3a-1，作差令g（a）=lna-（b-1）=lna-3a+2，（a＞0），根据函数的得到求出g（a）的最大值小于0，从而判断出lna和b-1的大小即可．

解答 解：f′（x）=3ax²-b-$\frac{1}{x}$，
∵x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=3a-b-1=0，
即3a-1=b，
令g（a）=lna-（b-1）=lna-3a+2，（a＞0），
则g′（a）=$\frac{1}{a}$-3=$\frac{1-3a}{a}$，
令g′（a）＞0，解得：0＜a＜$\frac{1}{3}$，
令g′（a）＜0，解得：a＞$\frac{1}{3}$，
故g（a）在（0，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，+∞）递减，
故g（a）_max=g（$\frac{1}{3}$）=1-ln3＜0，
故lna＜b-1，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．