Question

12．定义在R上的函数f（x），已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，对任意的x₁，x₂∈（-∞，0）（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（0.3²）＜f（2^0.3）＜f（log₂5）
• B． $f（{log_2}5）＜f（{2^{0.3}}）＜f（{0.3^2}）$
• C． $f（{log_2}5）＜f（{0.3^2}）＜f（{2^{0.3}}）$
• D． $f（{0.3^2}）＜f（{log_2}5）＜f（{2^{0.3}}）$

Answer 1

分析 根据图象平移以及对称轴可以得出函数y=f（x）是偶函数，再根据单调性的定义得出f（x）在（-∞，0）上是单调减函数，由偶函数的性质得出f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，利用指数对数函数的单调性即可得出f（0.3²）＜f（2^0.3）＜f（log₂5）．

解答 解：∵y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴y=f（x+1）的对称轴x=-1向右平移1个单位可得y=f（x）的对称轴x=0，
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数；
又对任意的x₁，x₂∈（-∞，0）（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
则f（x）在（-∞，0）上是单调减函数，
所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
∵0＜0.3²＜1＜2^0.3＜2＜log₂5＜3
∴f（0.3²）＜f（2^0.3）＜f（log₂5）．
故选：A．

点评 本题考查了图象平移以及偶函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数、对数函数的单调性问题，是综合性题目．