Question

（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1+x）-，证明：当x＞0时，f（x）＞0；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为P．证明：P＜＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用导数证明函数f（x）=ln（1+x）-在定义域上为增函数，即证明f′（x）≥0在（-1，+∞）恒成立，再考虑当x=0时，f（x）=0，故当x＞0时，f（x）＞0
（Ⅱ）先计算概率P=，再证明=＜=，即证明99×98×…×81＜（90）¹⁹，最后证明＜e^-2，即证＞e²，即证19ln＞2，即证ln＞，而这个结论由（1）所得结论可得
解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）==≥0，（x＞-1），（仅当x=0时f′（x）=0）
故函数f（x）在（-1，+∞）单调递增．当x=0时，f（x）=0，故当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜（）¹⁹＜．
先证：P=＜ 即证＜
即证99×98×…×81＜（90）¹⁹而99×81=（90+9）×（90-9）=90²-9²＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90²-8²＜90²…
91×89=（90+1）×（90-1）=90²-1²＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜
再证：＜e^-2，即证＞e²，即证19ln＞2，即证ln＞
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-，当x＞0时，f（x）＞0．
令x=，则ln（1+）-=ln（1+）-＞0，即ln＞
综上有：P＜＜e^-2
点评：本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．