题目内容

设函数f（x）=
1  (x＞0)
-1(x＜0)
，则不等式xf（x）+x≤4的解集是
（-∞，0）∪（0，2]
（-∞，0）∪（0，2]
．
分析：由不等式xf（x）+x≤4可得①
x＞0
x+x≤4
，②
x＜0
-x+x≤4
．分别求得解①和②的解集，再取并集即得所求．
解答：解：∵函数f（x）=
1  (x＞0)
-1(x＜0)
，则由不等式xf（x）+x≤4可得①
x＞0
x+x≤4
，②
x＜0
-x+x≤4
．
解①可得 0＜x≤2，解②可得 x＜0．
故原不等式的解集为 （-∞，0）∪（0，2]，
故答案为 （-∞，0）∪（0，2]．
点评：本题主要考查利用分段函数求函数的值，其它不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=|1-
1x
|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．
设函数f（x）=
1-
1-x
x
(x＜0)
a+x2(x≥0)
，要使f（x）在（-∞，+∞）内连续，则a=
 
设函数f（x）=
1             (x≤
3
)
4-x2
(
3
＜x＜2)
0              (x≥2)
，则
∫
2010
-1
f（x）dx的值为
π
3
+
2+
3
2
π
3
+
2+
3
2
．
设函数f（x）=
1-|x-1|，x＜2
1
2
f(x-2)，x≥2
，则函数F（x）=xf（x）-1的零点的个数为
6
6
．
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1，x＞0
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-1，x＜0
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