题目内容
设函数f（x）=x3+3x2+6x+4，a，b都是实数，且f（a）=14，f（b）=-14，则a+b的值为（ ）
分析：根据f（x）=x3+3x2+6x+4可将f（x）变形为f（x）=（x+1）3+3（x+1）然后根据f（a）+f（b）=0可得（a+1）2+3（a+1）+（b+1）2+3（b+1）=0注意到此方程的对称性可构造函数F（x）=x3+3x则上式可变形为F（a+1）=-F（b+1）故需判断出函数F（x）的奇偶性和单调性即可求解．
解答：解答：解：∵f（x）=x3+3x2+6x+4
∴f（x）=（x+1）3+3（x+1）
∵f（a）+f（b）=0
∴（a+1）2+3（a+1）+（b+1）2+3（b+1）=0①
令F（x）=x3+3x，
则F（-x）=-F（x）
∴F（x）为奇函数
∴①式可变为F（a+1）=-F（b+1）
即F（a+1）=F（-b-1）
∵F（x）=x3+3x为单调递增函数
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2
故选D
∴f（x）=（x+1）3+3（x+1）
∵f（a）+f（b）=0
∴（a+1）2+3（a+1）+（b+1）2+3（b+1）=0①
令F（x）=x3+3x，
则F（-x）=-F（x）
∴F（x）为奇函数
∴①式可变为F（a+1）=-F（b+1）
即F（a+1）=F（-b-1）
∵F（x）=x3+3x为单调递增函数
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2
故选D
点评：本题主要考查利用函数的单调性和奇偶性进行求值．解题的关键是先将函数f（x）=x3+3x2+6x+4变形为f（x）=（x+1）3+3（x+1）（这也是求解此题的突破点）然后利用所得到的式子①构造函数F（x）=x3+3x最后利用函数F（x）的单调性奇偶性即可求解！
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