Question

18．关于曲线C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1的下列说法正确的有①②④⑤．
①关于原点对称；
②关于直线x+y=0对称；
③是封闭图形，面积大于2π；
④不是封闭图形，与圆x²+y²=2无公共点；
⑤与曲线D：|x|+|y|=2$\sqrt{2}$有且只有四个公共点．

Answer 1

分析 分析关于原点对称的两个点（x，y）点（-x，-y），是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y=-x对称的两个点（x，y）点（-y，-x），是否都在曲线上，可判断②； 联立方程，可判断③④⑤．

解答 解：将方程中的x换成-x，y换成-y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；
将方程中的x换成-y，y换成-x，方程变为$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1与原方程相同，故②正确；
不是封闭图形，与坐标轴没有交点，故③不正确；
④曲线C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1与圆x²+y²=2联立，无解，所以与圆x²+y²=2无公共点，正确；
⑤x＞0，y＞0时，曲线D：x+y=2$\sqrt{2}$与曲线C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1只有一个公共点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），根据对称性，可得与曲线D：|x|+|y|=2$\sqrt{2}$有且只有四个公共点，正确．
故答案为：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．

点评 本题考查的知识点是曲线C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1的图象和性质，对称性的判断，面积的求解，难度中档．