Question

设A（x₁，y₁），B（x₂．y₂）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上两个不同的动点，若当线段AB的中点在直线x=2上运动时，AB的垂直平分线l经过定点N（4，0）求C的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设线段AB的中点为M（2，m），运用中点坐标公式，以及直线的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，分别求出直线AB和MN的斜率，解方程即可求得p=2，进而得到抛物线方程．

解答： 解：设线段AB的中点为M（2，m），
则y₁+y₂=2m，即m=

y1+y2

2

，
由抛物线方程可得x₁=

y12

2p

，x₂=

y22

2p

，
则MN的斜率为k_MN=

y1+y2 2 -0

2-4

=

y1+y2

-4

，
直线AB的斜率为k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，
由于MN⊥AB，则k_MN•k_AB=-1，
即有

y1+y2

-4

•

2p

y1+y2

=-1，解得p=2．
则抛物线C的方程为y²=4x．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线的斜率公式的运用，以及两直线垂直的条件，考查中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．