Question

12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＜1，当x∈[0，2π]时，不等式f（2cosx）＜2cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$的解集为$[{0，\frac{π}{3}}）∪（{\frac{5π}{3}，2π}]$．

Answer 1

分析 设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，可得g（x）在R上递减，求出g（1），运用二倍角余弦公式，将原不等式化为f（2cosx）-cosx＜$\frac{1}{2}$，即g（2cosx）＜g（1），由单调性可得2cosx＜1，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：设$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x，g'（x）=f'（x）-\frac{1}{2}＜0$，$g（1）=f（1）-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
不等式$f（{2cosx}）＜2{cos^2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$，
可化为$f（{2cosx}）-cosx＜\frac{1}{2}，即g（{2cosx}）＜g（1）$，
由于$g（x）单调递减，2cosx＞1，即cosx＞\frac{1}{2}$，
当x∈[0，2π]时，
∴$x∈[{0，\frac{π}{3}}）∪（{\frac{5π}{3}，2π}]$．
故答案为：$[{0，\frac{π}{3}}）∪（{\frac{5π}{3}，2π}]$．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性，考查构造函数法和运用单调性解不等式，考查运算能力，属于中档题．