Question

2．在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，则2a₅+a₄的最小值为12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，公比q＞0，a₁＞0．可得：a₁=$\frac{8}{（2q+1）（{q}^{2}-1）}$＞0，可得q＞1．则2a₅+a₄=${a}_{1}{q}^{3}（2q+1）$=$\frac{8{q}^{3}}{{q}^{2}-1}$=$\frac{8}{\frac{1}{q}-\frac{1}{{q}^{3}}}$，设$\frac{1}{q}$=x∈（0，1），则y=x-x³，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，公比q＞0，a₁＞0．
∴a₁（2q³+q²-2q-1）=8，
∴a₁=$\frac{8}{（2q+1）（{q}^{2}-1）}$＞0，可得q＞1．
则2a₅+a₄=${a}_{1}{q}^{3}（2q+1）$=$\frac{8{q}^{3}}{{q}^{2}-1}$=$\frac{8}{\frac{1}{q}-\frac{1}{{q}^{3}}}$，
设$\frac{1}{q}$=x∈（0，1），则y=x-x³，
由y′=1-3x²=$-3（x+\frac{\sqrt{3}}{3}）（x-\frac{\sqrt{3}}{3}）$0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
可得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，y取得最大值，y_max=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
∴2a₅+a₄的最大值为$\frac{8}{\frac{2\sqrt{3}}{9}}$=12$\sqrt{3}$．
故答案为：12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．