某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂.规格是0.25kg/瓶.服用剂量是每次一瓶.治疗时需把汤剂放在热水中加热到t0C才能给病人服用.若把m1kg汤药放入m2kg热水中.待二者温度相同时取出.则汤剂提高的温度t1℃与热水降低的温度t2℃满足关系式m1t1=0.8m2t2.某次治疗时.王护士把x瓶温度为100C汤剂放入温度为90°C.质量为2.5kg的热� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂，规格是0.25kg/瓶，服用剂量是每次一瓶，治疗时需把汤剂放在热水中加热到t⁰C才能给病人服用，若把m₁kg汤药放入m₂kg热水中，待二者温度相同时取出，则汤剂提高的温度t₁℃与热水降低的温度t₂℃满足关系式m₁t₁=0.8m₂t₂，某次治疗时，王护士把x瓶温度为10⁰C汤剂放入温度为90°C、质量为2.5kg的热水中加热，待二者温度相同时取出，恰好适合病人服用．
（1）求x关于t的函数解析式；
（2）若t∈[30，40]，问：王护士加热的汤剂最多够多少个病人服用？

分析（1）利用条件列出方程0.25x（t-10）=0.8×2.5（90-t），可得x关于t的函数解析式．
（2）解法一：设30≤t₁＜t₂≤40，判断函数x（t）在[30，40]上为减函数，然后求解最大值，推出结果．
解法二：由$x=\frac{720-8t}{t-10}$，可得$t=\frac{720+10x}{x+8}$，利用t∈[30，40]，转化为不等式求解即可．

解答解：（1）依题意，可得0.25x（t-10）=0.8×2.5（90-t），
整理得x关于t的函数解析式为[$x=\frac{720-8t}{t-10}$．…（4分）
（2）解法一：设30≤t₁＜t₂≤40，则$x（{t_1}）-x（{t_2}）=\frac{{720-8{t_1}}}{{{t_1}-10}}-\frac{{720-8{t_2}}}{{{t_2}-10}}=\frac{{640（{t_2}-{t_1}）}}{{（{t_1}-10）（{t_2}-10）}}$
因为30≤t₁＜t₂≤40，所以（t₁-10）（t₂-10）＞0，t₂-t₁＞0，所以$\frac{{640（{t_2}-{t_1}）}}{{（{t_1}-10）（{t_2}-10）}}＞0$，
即x（t₁）-x（t₂）＞0，
所以x（t₁）＞x（t₂），所以x（t）在[30，40]上为减函数．…（10分）
所以$x{（t）_{max}}=x（30）=\frac{720-8×30}{30-10}=24$，所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…（12分）
解法二：由$x=\frac{720-8t}{t-10}$，可得$t=\frac{720+10x}{x+8}$．…（6分）
由t∈[30，40]，可得$30≤\frac{720+10x}{x+8}≤40$，因为x+8＞0，所以3（x+8）≤72+x≤4（x+8），解得$\frac{40}{3}≤x≤24$．
所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…12分