Question

18．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．
（I）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）若AB=4，AD=1，求∠ACD的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切线的性质即可得出∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD；
（Ⅱ）利用相似三角形的性质，得出AC²=AB•AD，即可求∠ACD的大小．

解答 证明：（I）连接BC，
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠CAB=90°
∵AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵AC是弦，且直线CE和圆O切于点C，
∴∠ACD=∠B
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
由此得AC²=AB•AD．
∵AB=4，AD=1，
∴AC=2，于是∠ACD=30°．

点评 熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．