Question

13．已知经过点A（-3，-2）的直线与抛物线C：x²=8y在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 设B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）（m＜0），求得函数的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐标，运用两点的斜率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）（m＜0），
由y=$\frac{{x}^{2}}{8}$的导数为y′=$\frac{x}{4}$，
可得切线的斜率为$\frac{m}{4}$，
即有$\frac{m}{4}$=$\frac{\frac{{m}^{2}}{8}+2}{m+3}$，化为m²+6m-16=0，
解得m=-8（2舍去），
可得B（-8，8），又F（0，2），
则直线BF的斜率是$\frac{8-2}{-8}$=-$\frac{3}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，主要是相切的条件，注意运用导数的几何意义，考查直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．