Question

19．已知曲线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与曲线C交于P，Q两点，且$\overrightarrow{FP}$+2$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，则△OPQ的面积等于（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 设过点F的直线l的方程为x=my+1代入y²=4x得y²-4my-4=0，利用韦达定理结合且$\overrightarrow{FP}$+2$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，求出m²=$\frac{1}{8}$，利用S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|，由此能求出△OPQ的面积．

解答 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|．
设过点F的直线l的方程为x=my+1代入y²=4x得y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m①，y₁y₂=-4②，
∵$\overrightarrow{FP}$+2$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，
∴（x₁-1，y₁）+2（x₂-1，y₂）=（0，0），
∴y₁+2y₂=0③
联立①②③可得m²=$\frac{1}{8}$
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16×\frac{1}{8}+16}$=3$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选C．

点评 本题考查抛物线的性质和应用，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题时确定m²=$\frac{1}{8}$，利用S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|是关键．