Question

已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．
（1）求；
（2）设，，求函数在上的最大值；
（3）设，若对于一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

试题分析：（1）三次函数的导数是二次函数，由，知其对称轴，曲线的切线问题，可利用导数的几何意义(切点处切线的斜率)列出方程组求解；（2），画出函数图象考察其单调性，根据其单调区间对的值分类讨论求出其最大值；（3）对不等式进行化简，得恒成立，即，且，对任意的成立，然后又转化为求函数的最值问题，要注意，从而有.
试题解析：（1），∵，
∴函数的图象关于直线对称，，             2分
∵曲线在与轴交点处的切线为，∴切点为，
∴，解得，则                5分
（2）∵，
∴，其图象如图                      7分
当时，，
当时，，
当时，，

综上                                  10分
（3），，
当时，，所以不等式等价于恒成立，
解得，且，                                            13分
由，得，，所以，
又，∵，∴所求的实数的的取值范围是       16分