Question

1．设函数f（x）=x³+（1+a）x²+ax有两个不同的极值点x₁，x₂，且对不等式f（x₁）+f（x₂）≤0恒成立，则实数a的取值范围是$\frac{1}{2}$≤a≤2或a≤-1．

Answer 1

分析 把x₁，x₂代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x₁）+f（x₂）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．

解答 解：因f（x₁）+f（x₂）≤0，故得不等式x₁³+x₂³+（1+a）（x₁²+x₂²）+a（x₁+x₂）≤0．
即（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]+（1+a）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+a（x₁+x₂）≤0．
由于f′（x）=3x²+2（1+a）x+a．
令f′（x）=0得方程3x²+2（1+a）x+a=0．
△=4（a²-a+1）≥4a＞0，x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$（1+a），x₁x₂=$\frac{a}{3}$，
代入前面不等式，并化简得（1+a）（2a²-5a+2）≥0．
解不等式得$\frac{1}{2}$≤a≤2或a≤-1，
因此，实数a的取值范围是$\frac{1}{2}$≤a≤2或a≤-1．
故答案为：$\frac{1}{2}$≤a≤2或a≤-1．

点评 本题考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．