Question

已知函数f（x）=-x³+k•x²+3x-2k，g（x）=（3-k²）•x
（1）当x∈（1，+∞）时，讨论函数f（x）是否存在极值；
（2）若存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，试求k的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，考虑判别式大于0恒成立，讨论f′（1）＞0，f′（1）≤0，考虑极值情况；
（2）存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，即为f（x）＞g（x）在x＞1有解，即-x³+k•x²+3x-2k-（3-k²）•x＞0即h（x）=x³-kx²-k²x+2k＜0（x＞1）有解，讨论k=0，若k≠0，则有h（1）≤0，解不等式，加以检验即可得到范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=-x³+k•x²+3x-2k的导数为：
f′（x）=-3x²+2kx+3，
由于判别式△=4k²+36＞0，则f′（x）=0有两个不相等的实数根且符号相反．
设正根为x₁，负根为x₂，
f′（0）=3＞0，若f′（1）＞0，即-3+2k+3＞0解得，k＞0，
则f（x）在（1，x₁）递增，（x₁，+∞）递减，
则f（x）存在极大值；
若f′（1）≤0，即-3+2k+3≤0解得，k≤0，则f（x）在（1，+∞）递减，不存在极值；
综上，当k＞0时，f（x）存在极大值；当k≤0时，f（x）不存在极值；
（2）存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，即为
f（x）＞g（x）在x＞1有解，即-x³+k•x²+3x-2k-（3-k²）•x＞0
即h（x）=x³-kx²-k²x+2k＜0（x＞1）有解，
若k=0，显然不成立；
若k≠0，则有h（1）≤0，即有1-k-k²+2k≤0，
解得，k≥

1+ 5

2

或k≤

1- 5

2

，
检验，k=

1+ 5

2

时，x＞1时，h（x）＜0；k=

1- 5

2

时，x＞1时，h（x）＞0恒成立．
则k的范围是：k≥

1+ 5

2

或k＜

1- 5

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数成立问题，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．