Question

已知两个定圆O₁，O₂，它们的半径分别是1和2，且|O₁O₂|=4，动圆M与圆O₁内切，又与圆O₂外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设两个定圆O₁（-2，0），O₂（2，0），建立坐标系，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，由两个圆相内切和外切的条件，写出动圆圆心满足的关系式，由双曲线的定义确定其轨迹即可．

解答： 解：由两个定圆O₁，O₂，它们的半径分别是1和2，且|O₁O₂|=4，
设两个定圆O₁（-2，0），O₂（2，0），建立坐标系，
设动圆圆心为M（x，y），半径为R，
动圆M与圆O₁内切，又与圆O₂外切，满足|MO₁|=R-1，|MO₂|=R+2
所以|MO₂|-|MO₁|=3（常数）且3＜4=|O₁O₂|
故M点的轨迹为以，O₁O₂为焦点的双曲线的一支．
c=2，a=

3

2

，b²=

7

4

．
所求轨迹方程为：

x2

9 4

-

y2

7 4

=1，（x≤-

3

2

）
M点的轨迹为以，O₁O₂为焦点的双曲线的左支．

点评：本题考查定义法求轨迹方程、两圆相切的条件等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．